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Praktische Elektronik


Wir lernen mathematische Hintergründe der Minimierung logischer Ausdrücke.


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Logik und Mathematik

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Logik und Mathematik

Ein wenig logische Mathematik

Wir werden uns hier nicht etwa die gesamte Mathematik, die hinter logischen Ausdrücken steht, ansehen, sondern ein paar wichtige Fakten, die uns helfen, logische Schaltungen einfacher aufzubauen.

Die folgenden und weitere logische Zusammenhänge beschreibt . Dort werden allerdings andere Symbole verwendet.

Wir betrachten nachfolgend nur die Wirkung auf unsere Freunde die NAND-Gatter.

Komplementarität
A and not A = 0
A or  not A = 1

Für uns heißt das, wenn an ein NAND-Gatter ein logischer Wert A und sein Komplement not A angeschlossen wird, brauchen wir diesen Wert nicht anzuschließen, sondern können den Ausgang an 1 als U+ anschließen. ( 1, weil NAND = not and ist.)

Logisch können wir A und not A an zwei Eingänge eines NAND-Gatters anschließen und das Ergebnis ist immer 1. Elektrisch ist das keine gute Idee, weil wir dadurch extrem kurze Impulse am Ausgang erzeugen. Sie können uns zur Verzweiflung bringen können, weil sie kaum zu messen sind und dennoch Wirkung haben können.

Neutralität
A and 1 = A
A  or 0 = A

Wenn wir an einen Eingang eines NAND-Gatters eine 1 anschließen, verhält sich das NAND-Gatter nicht anders. Das ist für uns durchaus wichtig. Wir können nicht benötigte Eingänge eines NAND-Gatters an 1 anschließen, d.h. and U+.

Kommutativität
A and B = B and A
A  or B = B  or A

Wir dürfen die Eingänge eines NAND-Gatters vertauschen.

Extremalität
A and 0 = 0
A  or 1 = 1

Wenn wir an einem Eingang eines NAND-Gatters eine 0 haben ist das Ergebnis immer 1. Wir brauchen das Gatter nicht, sondern schließen unmittelbar an 0 also U- an.

Idempotenz
A and A = A
A  or A = A

Wir können einen logische Wert an mehrere Eingänge eines NAND-Gatters anschließen und das NAND-Gatter verhält sich nicht anders.

Elektrisch ist es nicht gleich, weil der zusätzliche Eingang den Ausgang der den Wert liefert belastet. Besser ist es, nicht benötigte Eingänge eines NAND-Gatters an 1 anzuschließen.

Involution
not( not A ) = A

Ein doppeltes NOT hebt sich auf. Zwei hintereinander geschaltete NOT können entfallen.

De Morgan
not( A and B ) = (not A)  or (not B)
not( A or  B ) = (not A) and (not B)

De Morgan wird verwendet, um AND-OR in NAND zu wandeln:

(A and B) or (C and D) = not( (  not(A and B) ) and (  not(C and D) ) )
                       = NAND ( NAND(A  ,  B)    ,    NAND(C  ,  D) )

Regeln

  • Nicht benötigte Eingänge eines NAND-Gatters werden an 1, d.h. U+ angeschlossen.
  • Wir dürfen die Eingänge eines NAND-Gatters vertauschen.
  • Zwei unmittelbar hintereinander liegende NOT-Gatter können entfallen.