R2R-Wandler im Detail
Dieses Praktikum setzt setzt die Praktika
- Spannungen einstellen im Kontext von analogen Grundschaltungen
voraus.
Von rechts nach links
- Die Schaltbilder sind von rechts nach links zu lesen.
- Links ist der Ausgang.
Ersatzschaltung
In diesem Praktikum verwenden wird Ersatzschaltungen.
Eine Ersatzschaltung verhält sich genau wie die Originalschaltung. Sie ist einfacher und auf das Wesentliche beschränkt.
Wir verwenden hier eine einfache Ersatzschaltung für R2R-Wandler.
Sie besteht aus einer Spannungsquelle Ux und einem Widerstand Rx.
Diese Ersatzschaltung kann einfach aus der Schaltung des R2R-Wandlers gebildet werden.
Ux ist die Ausgangsspannung des R2R-Wandlers.
Wenn der Ausgang des R2R-Wandlers - links - kurzgeschlossen wird, fließt ein Strom Ix. Dann ist Rx = Ux / Ix.
1-Bit-R2R-Wandler
Um das Prinzip eines R2R-Wandlers zu verstehen, betrachten wir zunächst einen 1-Bit-R2R-Wandler.
- In Bild 2 zeigt den 1-Bit-R2R-DAC mit dem Eingang rechts und dem Ausgang links.
Im Folgenden betrachten wir die Spannungen an den Widerständen eines 1-Bit-R2R-Wandlers.
Der Einfachheit halber verwenden wir die Versorgungsspannung U als Referenz Uref.
Bild 3 zeigt die erste Stufe des R2R-Wandlers, wenn die Spannung an Q0 0 ist. Diese Stufe kann dann durch eine einfache Ersatzschaltung mit einem Widerstand 2R und einer Ausgangsspannung von 0V ersetzt werden.
Ist der Eingang Q0 der ersten Stufe auf digital 1, also U0 = U = 5V, so ist die Spannung Ua = U/2, da der Spannungsteiler aus zwei gleichen Widerständen besteht.
Das Ersatzschaltbild ist wieder einfach: eine Spannungsquelle mit Ua = U/2 und ein Widerstand mit 2R.
- Ein 1-Bit-R2R-Wandler hat einen Quantisierungsschritt von Uq = Uref / 2 .
- Er erzeugt nur zwei analoge Spannungen:
- Ua = 0V oder
- Ua = Uq = Uref / 2
Wir halten fest: Ein 1-Bit-R2R-Wandler
- hat einen Quantisierungsschritt von Uq = U/2
-
erzeugt eine Ausgangsspannung
von Ua = 0, wenn Q0 = 0 ist
oder von Ua = U/2, wenn Q0 = 1 ist
- hat eine maximale Ausgangsspannung von Ua = U/2 = U - Uq.
- hat einen Ersatz-Widerstand von 2R
R2R-Wandler mit n+1 Bits
Wir gehen einmal davon aus, dass R2R-Wandler funktionieren, genauer gesagt, dass n-Bit-R2R-Wandler funktionieren.
Ein n-Bit-R2R-Wandler
- hat einen Quantisierungsschritt von Uq = Uref / 2n .
- liefert für einen digitalen Wert X eine Ausgangsspannung Ua = X * Uq
- liefert eine maximale Ausgangsspannung Umax = Uref - Uq
- hat einen Ersatzwiderstand von 2R
Im Folgenden werden wir nachweisen, dass R2R-Wandler dann auch mit einem Bit mehr, also mit n+1 Bits, funktionieren.
Wir werden berechnen, dass ein n+1-Bit-R2R-Wandler
- einen Quantisierungsschritt Uqn+1 liefert, der halb so groß ist wie Uqn eines n-Bit-R2R-Wandlers
- für den Wert X an seinen Digitaleingängen eine Ausgangsspannung Ux = X * Uqn+1 erzeugt
- eine maximale Spannung von U - Uqn+1 liefert
- einen Ersatzwiderstand 2R hat
Wir erweitern den n-Bit-R2R-Wandler um ein weiteres Bit, indem wir eine weitere R2R-Stufe an seinen Ausgang anschließen.
Der n-Bit-R2R-Wandler liefert die Spannung Ux und hat einen Widerstand von 2R.
Damit können wir die Ausgangsspannung Ua des erweiterten n+1-Bit-R2R-Wandlers berechnen.
Der neue Eingang Qn+1 in Bild 6 kann zwei Werte annehmen:
| Qn+1 | Ua |
| 0 | Ux / 2 |
| U | Ux / 2 + U/2 |
- Für jede Ausgangsspannung des n-Bit-R2R-Wandlers liefert der n+1-Bit-R2R-Wandler zwei Ausgangsspannungen.
Die Spannung Ux des n-Bit-R2R-Wandlers wird halbiert. Hinzu kommt entweder U/2 oder 0V.
Das heißt der Quantisierungsschritt Uq wird ebenfalls halbiert: Uqn+1 = Uqn
Wenn der neue Eingang 1 ist, also U liefert, dann ist die maximale Spannung Umax des n+1-Bit-R2R-Wandlers Umax = U/2 - Uq/2 + U/2 = U - Uq/2
Wir haben also:
- Der Quantisierungsschritt des n+1-Bit-R2R-Wandlers entspricht dem erwarteten Wert Uqn+1 = Uqn / 2.
- Der n+1-Bit-R2R-Wandler liefert, wie erwartet, doppelt so viele Ausgangsspannungen wie der n-Bit-R2R-Wandler
- Der Maximalwert des n+1-Bit-R2R-Wandlers entspricht dem erwarteten Wert Umax = U - Uqn+1
- Das Ersatzschaltbild ist wieder eine Spannungsquelle mit Ua und ein Widerstand mit 2R
- Unser n+1Bit-R2R-Wandler funktioniert, wenn der n-Bit-R2R-Wandler funktioniert.
Alle R2R-Wandler funktionieren
Oben haben wir nur gezeigt, dass ein n+1-Bit-R2R-Wandler funktioniert, wenn ein n-Bit-R2R-Wandler funktioniert. Wir wissen nicht, ob ein n-Bit-R2R-Wandler funktioniert. Wir haben das nur angenommen.
Aber zu Beginn haben wir festgestellt, dass ein 1-Bit-R2R-Wandler funktioniert.
Dann funktioniert folglich auch ein Wandler mit 2 Bits, einer mit 3 Bits usw.
- Alle R2R-Wandler funktionieren.
Vollständige Induktion
Oben haben wir einige Berechnungen und Versuche durchgeführt, um R2R-Wandler zu erklären. Die Berechnungen waren recht einfach. Der Trick mit der Annahme, dass ein R2R-Wandler für n Bits arbeitet, hat das Verfahren sehr vereinfacht.
Im Vergleich zur Beschreibung eines 4-Bit-R2R-Wandlers in R-2R DAC haben wir wenig Aufwand betrieben und z.B. auch 8-Bit-R2R-Wandler usw. beschrieben.
Unser Verfahren ist mehrere hundert Jahre alt. Es heißt Vollständige Induktion.