Binäre Zahlen

Zum Kopf

Wir werden uns damit beschäftigen, was digitale Zahlen sind, wie sie eigentlich dargestellt werden und wie wir mit ihnen rechnen.

Wir beschäftigen uns zunächst mit den uns bekannten Dezimalzahlen und

dann mit binären Zahlen, aber auch mit

hexadezimalen Zahlen.

Interessanterweise haben diese Zahlen ähnliche Eigenschaften und

wir können die Rechenregeln unseres Dezimalsystems auf die anderen übertragen.

Binäre Zahlen

Wir wollen uns hier

nicht in die mathematischen Feinheiten von binären Zahlen und Zahlensystem eintauchen,

sondern ein Gefühl für die binären Zahlen entwickeln

und keine exakten Beweise entwickeln,

sondern die Eigenschaften pragmatisch untersuchen.

Dazu genügt es, dass wir uns mit vierstelligen Binärzahlen beschäftigen.

Die Buchstaben der Zahlen

Wie Wörter aus Buchstaben bestehen, bestehen Zahlen aus den Buchstaben des Zahlensystems: den Ziffern.

Die Buchstaben unseres Dezimalsystems sind die Ziffern 0, 1, 2 ... 9.

Wir haben gelernt, was die Zahl 12 bedeutet, was das Wort zwölf bedeutet und dass beide dasselbe bedeuten.

Vergleichen wir 34 und vierunddreißig, so bedeuten beide wieder das Gleiche. Das Wort vierunddreißig enthält die Ziffern 3 und 4, aber in einer anderen Reihenfolge :-)

Eine Zahl wird durch eine Folge von Ziffern dargestellt: 0, 1, .. 11 .. 34 .. 865 ..

Es gibt Zahlen, die eine besondere Bedeutung haben:

a)	0	Wenn wir 0 zu einer beliebigen Zahl addieren, erhalten wir wieder diese Zahl.	A + 0 = A
b)	1	Wenn wir irgendeine Zahl mit 1 multiplizieren, erhalten wir wieder diese Zahl.	A * 1 = A

Diese beiden Eigenschaften hat jedes sinnvolle Zahlensystem.

Zahlensysteme

Was hindert uns daran, ein anderes Zahlensystem, d.h. eine andere Menge von Ziffern, zu erfinden?

Ganz frei sind wir nicht:

Wir brauchen eine Ziffer für die Eigenschaft a, also eine Null.

Wir brauchen eine Ziffer für die Eigenschaft b, also eine Eins.

Das einfachste Zahlensystem

Wir fangen mit dem einfachsten Zahlensystem an. Es hat nur die Ziffern 0 und 1.

Dieses System hat 2 Ziffern.

Jetzt können wir schöne Zahlen schreiben, zum Beispiel 101 oder 1010.

Dieses Zahlensystem heißt Binärsystem.

Unser Zehnersystem

Das Zehnersystem hat den Vorteil, dass wir mit den Fingern rechnen können :-)

Unsere Ziffern sind 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9.

Unser System hat 10 Ziffern.

Die 0 und die 1 nach den Regeln a und b sind enthalten.

Das Hexadezimalsystem

Was spricht dagegen, über die Ziffer 9 hinauszugehen:

Die Ziffern sind dann 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B B D E F.

Dieses System hat 16 Ziffern.

Jetzt können wir exotische Zahlen schreiben, z.B. 16C oder AFFE. Die 0 und die 1 nach den Regeln a und b sind enthalten.

Zahlensysteme von Babel

Was nützt es, schöne Zahlen in anderen Zahlensystemen zu schreiben, wenn wir nicht wissen, was sie bedeuten?

Wir müssen Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes übersetzen können:
:-( Vokabeln pauken.

Zuerst müssen wir wissen, in welchem Zahlensystem eine Zahl geschrieben ist.

255₁₀	Dezimalsystem
11111111₂	Binärsystem
FF₁₆	Hexadezimalsystem

Bei den obigen Zahlen handelt es sich immer um die gleiche Zahl 255₁₀.

Die tiefgestellten Indexe geben das verwendete Zahlensystem an.

Bei Zahlen wird oft auf die Angabe des Zahlensystems verzichtet, wenn aus dem Zusammenhang klar wird, was gemeint ist.

Umrechnung von Zahlen zwischen Zahlensystemen

Wir könnten hier viel Mathematik betreiben, um Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes umzurechnen. Taschenrechner und Computer machen das viel schneller.

Wir lernen lieber ein paar Vokabeln und beschäftigen uns dann mit dem Rechnen in Zahlensystemen.

Dezimalsystem	Binärsystem	Hexadezimalsystem
0	0	0
1	1	1
2	10	2
3	11	3
4	100	4
5	101	5
6	110	6
7	111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F
16	10000	10
64	100000	40
255	11111111	FF

Die Binärzahlen kennen wir bereits aus Binärzähler und aus Binär zählen.

Hexadezimalzahlen sind nur eine kompakte Schreibweise der Binärzahlen.

Es werden immer 4 Bits zu einer Hexadezimalziffer zusammengefasst.

Bedeutung der Stellen von Zahlen

Unser Dezimalsystem

Die Ziffern ganz rechts nennen wir Einer.

Davor stehen die Zehner und davor die Hunderter.

Wenn wir eine Zahl im Dezimalsystem sehen, wissen wir, dass die Ziffern links ein höheres Gewicht haben als die Ziffern rechts.

Die Stelle ganz rechts hat das Gewicht 1.

Wenn wir eine Stelle nach links gehen, hat diese Stelle das 10-fache Gewicht.

Wenn wir an eine Zahl eine 0 anhängen, ist die Zahl 10-mal so groß.

Das Binärsystem

Das gleiche Prinzip gilt auch für Binärzahlen.

Wir haben es hier mit einem Zweiersystem zu tun, einem Binärsystem.

Die Stelle ganz rechts hat das Gewicht 1.

Wenn wir eine Stelle nach links gehen, hat diese Stelle das doppelte Gewicht.

Wenn wir an eine Zahl eine 0 anhängen, ist die Zahl doppelt so groß.

Das Hexadezimalsystem

Im Hexadezimalsystem ist es genauso.

Die Stelle ganz rechts hat das Gewicht 1.

Jede Stelle davor hat das 16-fache Gewicht.

Wenn wir an eine Zahl eine 0 anhängen, ist die Zahl 16 mal so groß.

Bits der Binärzahlen

Binäre Zahlen interessieren uns besonders. Leider sind sie sehr lang. Um mit ihnen arbeiten zu können, ist es hilfreich, die einzelnen Stellen zu benennen.

In der folgenden Tabelle ist eine achtstellige Binärzahl dargestellt. Die einzelnen Stellen heißen Bits und sind von rechts nach links durchnummeriert. Der Wert jeder Stelle wird einmal binär und einmal dezimal angegeben.

Zahl	1	0	1	0	1	0	1	0
Bit	Bit 7	Bit 6	Bit 5	Bit 4	Bit 3	Bit 2	Bit 1	Bit 0
	MSB							LSB
Stellenwert binär	10000000	100000	100000	10000	1000	100	10	1
Stellenwert dezimal	128	64	32	16	8	4	2	1

Das LSB, Least Significant Bit, ist das Bit ganz rechts mit der geringsten Wertigkeit. Das MSB, Most Significant Bit, steht ganz links und hat den höchsten Stellenwert.

Wo beginnen?

Mit dem Zählen ist das so eine Sache.

Wo fängt man an zu zählen, bei 0 oder bei 1?

Mal ist das rechte Bit Bit Nr. 0, ein mal ist es Bit Nr. 1.

Und wo fängt man an zu zählen, rechts oder links?

Darüber streiten sich nicht nur die Elektroniker, sondern auch die Götter.

Jeder macht es so, wie es ihm gefällt,

um uns zu verwirren.

Negative Binärzahlen

Negative Zahlen werden durch ein vorangestelltes Minuszeichen - gekennzeichnet.

Negative Zahlen haben eine wichtige Eigenschaft:

Wenn wir eine Zahl A haben und ihren negativen Wert -A addieren, ist das Ergebnis 0.

Bei Binärzahlen können wir einfach die Stelle ganz links als Vorzeichen interpretieren:

0 bedeutet positive eine Zahl und

1 eine negative Zahl.

Leider reicht es nicht aus, nur ein Vorzeichen zu setzen.

Vielmehr müssen negative Zahlen so dargestellt werden, dass die Addition negativer Zahlen mit demselben Verfahren und derselben Hardware durchgeführt werden kann wie die Addition positiver Zahlen.

Negative Binärzahlen werden im Praktikum Binäre Arithmetik näher betrachtet.