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Praktische Elektronik


Wir lernen neue logische Funktionen und wie sie mit NAND-Gattern realisiert werden können.


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Digitaltechnik

Inhalt

Alles NAND, ODER?

Alltägliche Logik beschreiben


Alles NAND, ODER?

Bisher haben wir uns nur mit NAND-Gattern beschäftigt. Sie sind eine technische Realisierung der logischen Funktion Und. Nicht ganz, sonst würde es AND und nicht NAND ( NOT AND ) heißen.

Wir rekapitulieren die Wahrheitstabelle eines NAND-Gatters mit zwei Eingängen E1 und E2 sowie dem Ausgang A.

E1 E2 A
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0

Tabelle 1: NAND

Alltägliche Logik

Wir können alle mit Logik umgehen. Wir benutzen sie täglich ohne viel darüber nachzudenken. Selbstverständlich beherrschen wir sie auch. In den folgenden Abschnitten machen wir uns unser Wissen bewusst und wenden es an. Wir werden es auch technisch realisieren. In einem weiteren Praktikum werden wir lernen, wie wir komplizierte logische Zusammenhänge beschreiben und technisch realisieren können. Eines können wir schon voraus nehmen:

Logik in der Sprache

Wenn wir etwas mitteilen wollen, ist eines der meisten verwendeten Worte das und.

Wenn wir sagen:

Kurt und Liesel stehen auf der Brücke.

Dann ist uns klar, was damit gemeint ist. Wenn diese Aussage nicht der Fall ist, sagen wir:

Du irrst Dich. Das ist falsch. Das ist nicht wahr.

Wir kennen das schon wahr, falsch, nicht wahr:

   wahr   = 1
   falsch = 0

Als Techniker wenden wir unser Wissen an und schreiben eine Wahrheitstabelle:

Kurt Liesel UND stehen auf der Brücke
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Tabelle 2: UND

Das ist offensichtlich nicht NAND. Es ist NICHT NAND. Es ist NOT NAND, genau genommen NAND NOT. Wir nennen diese logische Funktion AND.

Wir erinnern: NOT erhalten wir, wenn wir alle Eingänge eines NAND-Gatters zusammenschließen. Unsere Schaltung ist also:

AndNandNot.png
Bild 1: AND aus NAND

Wenn Kurt auf der Brücke ist betätigen wir den Taster T1, für Liesel T2. Das Ergebnis zeigt die LED2 an.

Wir haben mit NAND-Gattern ein AND gebaut.

Oder in der Sprache

Eine weitere einfache Aussage ist

Kurt oder Liesel stehen auf der Brücke.

Eine gute Übung: jeder erstellt die Wahrheitstabelle für oder

Kurt Liesel ODER stehen auf der Brücke
0 0 ?
0 1 ?
1 0 ?
1 1 ?

Tabelle 3: ODER?

Ist doch klar:

  1. Wenn beide nicht auf der Brücke ist, ist die Aussage falsch.
  1. Wenn Kurt alleine auf der Brücke ist, ist die Aussage wahr.
  1. Wenn Liesel alleine auf der Brücke ist, ist die Aussage wahr.
  1. Wenn beide, Kurt und Liesel auf der Brücke sind , ist die Aussage falsch.
    Tatsächlich? Mache sind der Meinung, die Aussage sei wahr.

Wir sind und nicht ganz sicher, ob die Aussage 4 wahr oder falsch ist. Die meisten von uns haben darüber noch nie nachgedacht. Wir müssen hier eine Lösung finden. Sie ist einfach. Es gibt zwei Arten von ODER:

Ran an die Wahrheitstabellen:

K L OR
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

Tabelle 4: OR

K L EXOR
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

Tabelle 5: EXOR

Oder Logik

Uns stellt sich die Frage, wie bauen wir eine Schaltung für OR auf?

Versuchen wir es zunächst mit Überlegung. Betrachten wir die Wahrheitstabellen für NAND und OR, sehen sie sehr ähnlich aus. Anstelle der Einsen stehen Nullen. Außerdem sind die erste und vierte Zeile vertauscht.

Die Nullen in Einsen umwandeln ist einfach: NOT dahinter schalten.

Die Zeilen vertauschen heißt die Nullen an beiden Eingängen gegen Einsen vertauschen: NOT davor schalten.
Aber damit werden auch die beiden übrigen Zeilen verändert. Am besten prüfen wir das mit einer Wahrheitstabelle.

Logiker sind schreibfaul und setzen anstelle von NOT ein Dach ^ vor den Namen für den logischen Zustand, also anstelle NOT K, wird ^K geschrieben.

K L ^K ^L ^K NAND ^L ^( ^K NAND ^L ) OR
0 0 1 1 1 0 0
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 1 1
1 1 0 0 0 1 1

Tabelle 6: OR aus NAND und NOT

In die Wahrheitstabelle haben wir einige Spalten für Zwischenergebnisse eingefügt: ^K sowie ^L. Das ist einfach. Für die Berechnung von ^K AND ^L nehmen wir die Werte von ^K und ^L und schauen in die NAND-Tabelle. Die Spalte ^( ^K NAND ^L ) ist wieder einfach.

Und das Ergebnis ist, ^( ^K NAND ^L ) stimmt mit K OR L überein. Also

K OR L = NOT ( (NOT K) AND (NOT L) )

Verwirrend?

Das finden die Logiker auch, man kann das nicht einmal richtig lesen. Deshalb schreiben sie als Schreibfaule:

K + L = ^( ^K * ^L )

Sieht aus wie eine Formel mit Addition und Multiplikation. Es gilt

Bezeichnung Symbol Beispiel
NOT ^ ^A
AND * A * B
OR + A + B
NAND ^( A * B )

Tabelle 7: Logische Symbole

Die obigen Überlegungen sind zwar nicht simpel, aber mit der Wahrheitstabelle war es zu bewältigen. Bei den alten Griechen war dazu eine langes Studium in den philosophischen Schulen erforderlich.

Keine Angst, wir brauchen nicht immer derartige Klimmzüge zu machen. Im nächsten Praktikum werden wir lernen, wie mithilfe eines Programms beliebige logische Funktionen in NAND-Logiken umgewandelt werden.

Unsere Erkenntnis

K + L = ^( ^K * ^L )

ist dabei ausschlaggebend.

Aus einem NAND-Gatter machen wir ein OR-Gatter, indem wir vor jeden Eingang des NAND's ein NOT schalten und hinter den Ausgang noch ein NOT.

OR aus NAND

Wir wollen Elektronik bauen. Bauen wir also ein OR aus NAND-Gattern auf.

ORNAND.png
Bild 2: OR aus NAND

Wir brauchen alle vier Gatter des 74HC00, um ein OR zu bauen.

Die Schaltung auf dem Steckbrett aufbauen und nachprüfen, ob das Ergebnis der Wahrheitstabelle für OR entspricht. Wer will, kann noch LED's an die Ausgänge der Zwischenergebnisse ( 3, 6, 11 ) anschließen und sie anhand der Tabelle 6 überprüfen.

NOR

Wenn es NAND gibt, müsste es auch NOR geben. NAND ist AND mit einem NOT dahinter. Ein NOR ist dann ein OR mit einem NOT dahinter.

NORNAND_s.png
Bild 3: NOR aus NAND

Wir brauchen für diese Schaltung einen zweiten Chip. Am Ausgang der Schaltung haben wir zwei NOT hinter einander.

Wir stellen eine Wahrheitstabelle auf:

K ^K ^^K
0 1 0
1 0 1

Tabelle 8: NOT NOT

Der Tabelle entnehmen wir

^^K       = K
NOT NOT K = K

Wir können logisch denken: Kurt steht nicht nicht auf der Brücke, also: Kurt steht auf der Brücke.

Aha! NOT hinter NOT hebt sich auf. Die beiden NOT's können entfallen.

NORNAND2.png
Bild 4: NOR aus NAND

Wir überprüfen die Schaltungen anhand der Wahrheitstabelle für NOR

K L NOR
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0

Tabelle 9: NOR

Symbole

Für die bisher behandelten logischen Funktionen gibt es IC's mit diesen Funktionen. Selbstverständlich gibt es auch entsprechende Symbole.

Logische-Symbole.png
Bild 5: Grundlegende logische Symbole

In Bild 5 werden die wichtigsten logischen Symbole dargestellt. Es werden auch die Bezeichnungen der IC's angegeben, die wir verwenden werden.

Da NAND-Gatter wichtig sind, werden auch die verfügbaren Versionen mit drei, vier und acht Eingängen aufgeführt.

NOT gibt es ebenfalls. Hier sind die beiden interessanten CMOS-Bausteine 74HC04 und 4049 dargestellt. Wir werden wohl meistens den 4049 verwenden, weil er robuster und universeller ist. Die logische Funktion ist NOT. Der Begriff Inverter meint das gleiche.

Der 4050 mutet wie ein Witz an. Logisch ist das auch der Fall: Er hat keinen Wirkung. Elektrisch sieht das anders aus. Wir können ihn z.B. verwenden, wenn wir einen logischen Ausgang für höhere Lasten brauchen. Ein 74HC00 geht längst in die Knie, während der 4050 noch gut arbeitet. Der 4049 hat ähnliche elektrische Eigenschaften.

Interessant ist der Unterschied der Symbole von AND und NAND sowie OR und NOR. Das NOT wird durch einen kleinen Kreis am Ausgang beschrieben.

Regeln

Fazit

Wir konnten bisher alle Logiken mit NAND-Gattern auf bauen.

Tatsächlich? Und was ist mit EXOR? Das sehen wir uns im nächsten Praktikum an.