Sinus, die Mutter aller Wechselspannungen

Bisher haben wir nur Wechselspannungen mit rechteckigem Verlauf betrachtet.

Meistens versteht man unter einer Wechselspannung eine Spannung mit einem ganz bestimmten Verlauf.

Bild 1 zeigt den Verlauf einer typischen sinusförmigen Wechselspannung mit 50Hz. Dies ist der Spannungsverlauf in unserem Stromnetz.

Die Spannung im Bild verläuft zwischen -1 und +1, die Spannung im Stromnetzes zwischen -325V und 325V. Das klingt eigenartig: Die Netzspannung wird immer mit 230V angegeben.

Wenn wir uns den Verlauf der sinusförmigen Spannung ansehen, stellen wir fest, dass sie immer wieder einen anderen Wert hat. Im Mittel beträgt die Spannung 0V.

Der größte positive Wert der Sinusspannung wird als Amplitude der Sinusspannung bezeichnet.

Die Spannungsdifferenz zwischen dem höchsten positiven und dem kleinsten negativen Spannungswert wird als Spike-Spitze-Spannung bezeichnet.

Die 230V sind der sogenannte Effektivwert einer sinusförmigen Wechselspannung. Damit ist die Gleichspannung gemeint, die in einem Widerstand im Mittel die gleiche Energie (Wärme) erzeugt wie die Wechselspannung. Dabei spielt es keine Rolle, ob eine negative Spannung einen negativen Strom erzeugt. Schlaue Berechnungen haben ergeben, dass die Effektivspannung U_eff = 0,7071 * U_s oder U_s = U_eff * 1,414 ist.

Meistens ist die Effektivspannung gemeint, wenn nicht anders angegeben. In unseren Praktika und Projekten arbeiten wir mit Wechselspannungen von einigen Volt oder sogar nur mV arbeiten.

Ein weiterer Wert, der eine Wechselspannung charakterisiert, ist ihre Frequenz f und ihre Periode. Wir wissen, dass unsere Netzspannung eine Frequenz von 50Hz und eine Periode von 1/50 = 20ms hat.

In unseren Praktika und Projekten werden wir nur selten mit 50Hz arbeiten. Häufiger werden Werte von einigen Hz, mehreren kHz oder mehreren MHz auftreten.

Sinus

Sinusspannungen werden häufig zur Erklärung von Schaltungen verwendet, weil ihre Wirkung einfach zu erklären ist.

In der Praxis kommen sie jedoch eher selten vor.

• In der Digitaltechnik sind Rechteckspannungen üblich.

• Die Spannungen in Musikanlagen sind zwar Wechselspannungen, aber in der Regel nicht sinusförmig.

Trotzdem ist es sinnvoll, sinusförmige Spannungen zu betrachten.

Wenn man sinusförmige Spannungen addiert, kann man verschiedene Spannungsverläufe erzeugen.

In Bild 2 hat Sinusspannung (grün) eine Frequenz von 440Hz und eine Amplitude von 1 und die zweite (violett) eine Frequenz von 880Hz und eine Amplitude von 0,7. Addiert man diese beiden Sinusspannungen, so erhält man eine komplexe Spannung (blau).

Die verschiedenen Wechselspannungen haben einen periodischen Verlauf. Die Periode und damit die Frequenz der erzeugten Spannung (blau) entspricht der Frequenz der Sinusspannung (grün) mit der niedrigsten Frequenz.

Das Beispiel in Bild 3 zeigt, dass es möglich ist, aus drei Sinusspannungen eine annähernd rechteckförmige Spannung zu erzeugen.

Bemerkenswert ist, dass die drei Sinusspannungen nicht nur unterschiedliche Frequenzen, sondern auch unterschiedliche Amplituden aufweisen.

• Aus mehreren periodischen Sinusspannungen bestimmter Frequenz und Amplitude lässt sich eine Rechteckspannung erzeugen.

• Durch die Kombination von Sinusspannungen verschiedener Frequenz und Amplitude lassen sich komplexe Wechselspannungen erzeugen.

Umgekehrt kann eine periodische Wechselspannung in eine Summe von Sinusspannungen zerlegt werden.

Jede periodische Wechselspannung mit der Frequenz f kann in

• in eine Sinusspannung mit der Grundfrequenz f und

• in eine Vielzahl weiterer sinusförmiger Oberschwingungen

• mit ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz 2*f, 3*f, 4*f usw. zerlegt werden.

• Die Vielfachen der Grundfrequenz haben eine für die zerlegte Wechselspannung charakteristische Amplitude a1, a2, a3 ...

• Beim Rechteck sind a1=1, a2=0, a3=1/3, a4=0, a5=1/5 ...

Woher kommt Sinus?

Prinzipiell kann man eine Reihe von speziellen Spannungsverläufen für die Zerlegung verwenden, um Wechselspannungen darzustellen. Sinus ist dazu nicht unbedingt notwendig.

Sinus bietet sich aus historischen und physikalischen Gründen an. Früher wurde die Schwingung eines Pendels durch einen sinusförmigen Verlauf beschrieben. Heute betrachtet man meistens ein System aus einem Gewicht an einer Feder, das einfacher zu beschreiben ist.

Eine Blockflöte erzeugt sinusförmige akustische Schwingungen.

Mathematiker haben sich schon früh mit dem Sinus beschäftigt, weil man ihn zum Navigieren auf der Erde braucht. Sie sprechen von der Sinusfunktion.

Sinus und Geschwister

Oben haben wir gesehen, dass man mit Sinus viele Wechselspannungen darstellen kann, leider nicht alle. Dazu bruacht man neben der Sinusfunktion noch weitere Funktionen. Eine wichtige Funktion ist die Kosinusfunktion.

In Bild 4 zeigt eine sinusförmige und eine kosinusförmige Wechselspannung. Die Kosinusfunktion hat den gleichen Verlauf wie die Sinusfunktion. Sie ist nur zeitlich etwas verschoben. Diese Verschiebung kann allgemein mit dem Begriff der Phasenverschiebung Phi beschrieben werden.

Mit Sinus und Kosinus kann man jede periodische Wechselspannung beschreiben.

• Die Elektrizitätswerke mögen die Phasenverschiebung Phi gar nicht. Sie wollen, dass Phi möglichst Null ist, weil sie dann mehr Geld verdienen. Aber das ist eine andere Sache, die wir uns später anschauen.