Logisches Babylon
Chaos
Wenn wir uns Beschreibungen der Logik ansehen, fällt uns als erstes auf:
Jeder hat seine eigene Schreibweise.
An dieser Stelle wollen wir das Chaos ein wenig entwirren.
Die folgende Zusammenfassung erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit.
Die Kreativität der Logiker ist grenzenlos.
Vermutlich versuchen Logiker damit, ihre strengen Regeln zu überlisten.
Zunächst müssen wir akzeptieren, dass in der Mathematik schon immer unterschiedliche Symbole für gleiche Sachverhalte verwendet wurden. Das ist nicht nur Willkür, sondern einerseits der Blick auf Bereiche, deren Ähnlichkeit man früher nicht erkannt hat. Zum anderen reichen die Symbole für die verschiedenen Bereiche nicht aus.
Wir haben es hier mit technischer Logik zu tun. Mathematiker nennen das als Aussagenlogik. Die Mengenlehre ist damit strukturell identisch. Alles zusammen fällt unter die Boolesche Algebra, die nicht etwa die Algebra der 0en und 1en ist, sondern diese als Spezialfall enthält.
Selbst die Mathematik der ganzen Zahlen weist eine gewisse Ähnlichkeit auf. So werden manchmal die Symbole + für OR bzw. . oder * für AND verwendet.
Die Regel Punktrechnung vor Strichrechnung wurde aus Mathematik der ganzen Zahlen übernommen. Die Klammern um AND-Ausdrücke können dann weggelassen werden. Oft werden auch die Multiplikationszeichen weggelassen.
Das kleine Ein-mal-Eins der Logik
Wenn wir für AND die Multiplikation einsetzen und nur die logischen Werte 0 und 1 verwenden, liefert die Multiplikation, das was wir erwarten
| A | B | A * B | A AND B |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Bei OR und der Addition sieht es ähnlich aus, nur nicht ganz
| A | B | A + B | A OR B |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 2 | 1 |
Wir müssen nur beachten, dass in der Logik 1 + 1 = 1 ist.
Schreibweisen
Eigentlich müssten wir uns damit nicht beschäftigen, aber leider geht die Schreibweise im Internet munter durcheinander.
Die folgende Tabelle zeigt einige der gebräuchlichen Schreibweisen.
| Notation | A AND B | A OR B | NOT A | ( (NOT A) AND B ) OR ( A AND (NOT B) ) |
| Elektriker | A * B | A + B | A | A * B + A * B |
| Elektriker | A B | A + B | A | A B + A B |
| Programmiersprache C | A && B | A || B | !A | !A && B || A && !B |
| Programmiersprache C | A && B | A || B | ~A | ~A && B || A && ~B |
| A & B | A | B | !A | !A & B | A & !B | |
| BExpred | A * B | A + B | !A | !A * B + A * !B |
| Truth Table Solver | A . B | A + B | A' | (A' . B) + (A + B') |
| A * B | A + B | ¬A | ¬A * B + A * ¬B | |
| Aussagenlogik | A ∧ B | A ∨ B | A | ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ B ) |
| Aussagenlogik | A ∧ B | A ∨ B | ¬A | ( ¬A ∧ B ) ∨ ( A ∧ ¬B ) |
Häufig werden Symbole aus Programmiersprachen übernommen:
A AND B = A && B
A OR B = A || B
Programme können dann einfach auf die Syntax einer Programmiersprache zurückgreifen.
Überstrich für NOT
Die Schreibweise mit dem Überstrich für die Invertierung (NOT) eines Ausdrucks
NOT A = A
oder
K + L = K * L
wird oft für logische Ausdrücke verwendet. Klammern sind nicht notwendig.
Allerdings kann diese Darstellung in Standard-Textsystemen nicht ohne weiteres erzeugt werden.
Ein einfacher Überstrich ist möglich, für mehrere Überstriche oft einige Klimmzüge nötig.
NOT
Bei NOT ist man sich nicht ganz einig, ob das NOT auf die nächste Variable, den nächsten Ausdruck oder was auch immer wirkt.
X = ( (NOT A) AND B ) OR ( A AND (NOT B) ) X = ( ^A AND B ) OR ( A AND ^B ) ) X = ( ⌝A ∧ B ) ∨ ( A ∧ ⌝B ) X = ( A' . B ) + ( A . B' ) X = A' . B + A . B' X = A' B + A B' X = !A * B + A * !B X = A * B + A * B X = A'B + AB' X = AB + AB
Verwirrend ist, wie das NOT geschrieben wird: Das ⌝ steht vor der Variablen, das ' dahinter oder davor. Und dann es gibt noch den ‾, der über die Variable gesetzt wird. Mit dem Stich ‾ über der Variablen für NOT ist das so eine Sache, die mit Computern zu tun hat. Bevor es den UTF-Zeichensatz gab, war es nicht einfach, den Strich über ein Zeichen zu setzen. Deshalb wurden und werden die Zeichen für NOT vor oder hinter die Variable geschrieben.
(NOT A) = ^A = ⌝A = A = !A = ~A = A' = 'A
Bitte beachten: Einige verwenden A' andere 'A.
Regeln
- Für jede Beschreibung von Logik oder jedes Logik-Programm, vergewissern wir uns, welche Notation verwendet wird.
- Wir setzen Klammern um alles, was für uns zusammengehört.
- Wir setzen lieber eine Klammer zu viel:
- Eine Klammer zu viel stört nicht.
- Eine Klammer zu wenig führt oft zu falschen Ergebnissen.
- Wir klammern insbesondere jeden NOT-Ausdruck ein: (NOT A).
- Wir verwenden hier die Schreibweise wie
- A OR B = NOT ( (NOT A) AND (NOT B) ) = (NOT A) NAND (NOT B)
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