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Berechnung des Messwiderstands

Wir berechnen den Messwiderstand Rm in der elektronischen Sicherung.

Wir werden einige Irrtümer begehen und erkennen. So ist das in der Praxis.

ElektronischeSicherung.png
Bild 1: Die elektronische Sicherung

Der Widerstand Rm wurde so ausgelegt, dass die elektronische Sicherung bei 20mA auslöst. Der Wert von 33Ω wurde einfach vorgegeben.

An dieser Stelle machen wir uns Gedanken, wie der Wert von 33Ω zustande kommt.

Ein Phänomen kennen wir schon:

  • Der Strom wird größer, wenn der Widerstand kleiner wird.
  • Der Strom wird kleiner, wenn der Widerstand größer wird.
  • Das wird durch I=U/R beschrieben.

Dieses haben wir bereits im Praktikum Spannung, Strom, Polarität untersucht.

Wir können damit schon einmal festhalten, dass wir den Messwiderstand der elektronischen Sicherung kleiner machen müssen, wenn wir den Abschaltstrom der Sicherung erhöhen wollen.

Wir könnten jetzt einfach eine Reihe von Versuchen durchführen, um herauszubekommen, welchen Widerstand wir einsetzen müssen, wenn der Strom Is=20mA sein soll. Wir erleichtern uns das Ganze, indem wir etwas Theorie anwenden. Wir wenden einfach unsere Kenntnisse aus Spannung, Strom, Polarität an.

Ohmsches Gesetz für R
R = U / I

Wir brauchen also eine Spannung und einen Strom, um den Widerstand zu berechnen. Den Strom Is=20mA haben wir, aber welche Spannung setzen wir ein?

Im Praktikum Transistoren hatten wir eine Regel

  • Wenn Strom in die Basis des NPN-Transistors fließt, fällt zwischen Basis und Emitter eine Spannung von etwa 0,6V ab.

Damit der Transistor Q1 einschaltet, müssen 0,6V zwischen Basis und Emitter liegen. Das ist die Spannung, die an Rm abfallen muss. Nicht ganz genau, aber die Spannung am R1 ignorieren wir der Einfachheit halber. Wir haben damit

Rm = 0,6V / 0,02A
Rm = 30Ω

Der Widerstand von 33Ω ist offensichtlich etwas zu groß.

Strom durch die LED

Rechnen wir einmal nach, wie groß der Strom durch die LED ist, wenn der Transistor eingeschaltet ist. Dieser Strom wird durch den Widerstand R2 bestimmt. Wir müssen also wissen, wie groß die Spannung U1 an R1 ist.

In dem Stromkreis haben wir

Ubat = Uled + U1 + Uce

Ubat kennen wir, die Batteriespannung von 4,5V (oder 5V aus dem Netzgerät). Die Flussspannung an einer roten LED ist Uled=1,8V. Die Spannung Uce zwischen Kollektor und Emitter des eingeschalteten Transistors ist Uce=0V.

  • Wem diese Formeln zu viel sind, nimmt einfach LED.
Berechnung von U1
Ubat        = Uled + U2
Ubat - Uled =        U2
U2          = Ubat - Uled
U2          = 4,5V - 1,8V
U2          = 2,7V
Berechnung von I2
I2   = U2 / R2
I2   = 2,7V / 1kΩ
I2   = 2,7mA

Der Strom durch R2 fließt auch durch die LED und beträgt 2,7mA.

Ströme im Transistor Q1

Wir wollen jetzt den Kollektorstrom und den Basisstrom des Transistors Q1 berechnen.

Durch den Kollektor des Transistors fließt der Strom I2.

Und der Strom aus dem Gate des MOS-FET Q2? Im Gate eines MOS-FET fließt kein Strom.

Der Basisstrom ist

Ib = Ic / 10
Ib = 2,7mA / 10
Ib = 0,27mA

Wir rechnen genauer

Ganz am Anfang haben wir den Einfluss des Widerstands R1 vor der Basis des Transistors Q1 vernachlässigt. Den Effekt von R1 untersuchen wir jetzt.

Mit dem

Ohmschen Gesetz für U
U = I * R

wird die Spannung an R1 berechnet.

Mit I1 = Ib ist

U1 = I1 * R1
U1 = 0,27mA * 1000Ω
U1 = 0,27V

Die Annahme, die Spannung am Messwiderstand sei gleich der Basis-Emitter-Spannung des Transistors, erweist sich als falsch. Sie ist

Um = Ube + U1
Um = 0,6V + 0,27V
Um = 0,87V

Die korrekte Berechnung von Rm ist dann

Rm = Um / Im
Rm = 0,87V / 20mA
Rm = 43,5Ω

In der E24-Reihe passt am besten Rm=43Ω.

Bei unserer ersten Berechnung haben wir offensichtlich einen Fehler gemacht!

Korrektur des Fehlers

Wir haben jetzt verschiedene Möglichkeiten:

1. Wir verschleiern unseren Fehler und korrigieren ihn klammheimlich.

2. Wir machen auf unseren Fehler aufmerksam und helfen anderen, den Fehler zu vermeiden.

3. Wir Analysieren, was die Ursache des Fehlers war, um ähnliche Fehler nicht wieder zu begehen.

Der 1. Fall wird meistens gewählt. Der 2. ist nicht nur löblich, sondern sogar sehr erfolgreich. Der 3. ist der schwierigste und sollte mit dem 2. verbunden werden.

Wir entscheiden uns für den 3. Fall.

Wir stellen uns die Frage, wodurch dieser Fehler zustande kam?

  • Wir haben offensichtlich den Spannungsabfall am Widerstand R1 unterschätzt.
   U1 = I1 * R1
   U1 = Ib * R1
  • Wir haben den Basisstrom von Q1 unterschätzt.

Basisstrom genauer untersuchen

Der Transistor Q1 muss nach unserer Regel 1/10 des Kollektorstroms sein.

Wir wollen an dieser Stelle untersuchen, ob der Transistor Q1 mit einem kleineren Basisstrom auskommen kann.

Der erfahrene Elektroniker weiß: ja das kann er, aber dann schaltet er nicht richtig ein.

Das heißt in unserem Falle, dass der Strom durch den Kollektor geringer wird und zwischen Kollektor und Emitter eine Spannung abfällt. Die LED würde nicht voll leuchten.

Der BC337 beginnt zu leiten, wenn der Basisstrom etwa ein 100stel des Kollektorstroms ist. Wenn wir Glück haben, schon bei 1/400.

Den Wert Ic/Ib nennt man Stromverstärkung. Die Stromverstärkung von Transistoren wird nur sehr ungenau angegeben. Beim BC337 liegt sie zwischen 63 und 600.

Transistoren werden in Stromverstärkungs-Gruppen eingeteilt:

Gruppe Stromverstärkung
BC337-10 63-160
BC337-16 160-250
BC337-25 160-400
BC337-40 250-600

Meistens werden BC337 als BC337-25 mit einer Stromverstärkung zwischen 160 und 400 ausgeliefert. Mit einer Stromverstärkung von 100 liegen wir sogar recht gut im Mittelfeld des BC337-10.

Ib = Ic / 100
Ib = 2,7mA / 100
Ib = 0,027mA
Ib = 27µA

Mit R1=1kΩ

U1 = Ib * 1kΩ
U1 = 0,027mA * 1kΩ
U1 = 0,027V

Um = Ube + U1
Um = 0,6V + 0,027V
Um = 0,627V

Rm = Um / Im
Rm = 0,627V / 20mA
Rm = 31,35Ω

Wenn wir es zulassen, dass der Transistor Q1 nicht perfekt einschaltet, sondern nur zu leiten beginnt, wäre R1=1kΩ akzeptabel.

Wir müssen außerdem noch untersuchen, ob damit die elektronische Sicherung noch funktionieren würde.

Sie löst aus, wenn der MOSFET ausgeschaltet wird. Dann muss seine Gate-Source-Spannung Ugs unter 3V liegen.

Die Gate-Source-Spannung des MOSFETs Q2 ist die Kollektor-Emitter-Spannung des NPN-Transistors Q1 plus der Flussspannung der LED.

Damit muss für Ugs=3V

Ugs = Uce + Uled
Uce = Ugs - Uled
Uce =  3V - 1,8V
Uce = 1,2V

Uce=1,2V sein.

Das schafft ein BC337 im Bereich um 3mA leicht und hat dann auch eine Stromverstärkung von mehr als 100.

Wir können folglich mit einem schlecht leitenden Q1 rechnen. Die Folge ist allerdings, dass die LED nicht voll leuchtet. Aber das ist kaum zu sehen und damit könnten wir leben.

Essig in den Wein

Wir sind davon ausgegangen, dass die Basis-Emitter-Spannung eines eingeschalteten Transistors 0,6V ist. Die tatsächliche Basis-Emitter-Spannung kann allerdings davon abweichen und liegt im Bereich von 0,55V bis 0,65V.

Wir haben uns oben viel Mühe gegeben, präzise zu sein und jetzt das. Was sollen die 0,627V? Wir bleiben bei 0,6V.

Die 0,6V Basis-Emitter-Spannung gilt für einen voll eingeschalteten Transistor.

Wir arbeiten mit einem nicht voll eingeschalteten Transistor mit einem sehr geringen Basisstrom von 27µA. Dann ist die Basis-Emitter-Spannung geringer.

  • Wir müssen von Basis-Emitter-Spannung von 0,55V ausgehen.
Um=0,55V

Messwiderstand berechnen:

Wir berechnen den Messwiderstand für den maximalen Strom der Sicherung mit

Rm = Um / Im
Rm = 0,55V / Im

Die Werte sind ungenau. Wir müssen davon ausgehen, der Abschaltstrom einer elektronischen Sicherung um ±20% von dem berechneten Wert abweicht.

Diese 20% sind übrigens für Sicherungen gut genug. Wir wollen den Strom nicht messen, sondern dafür sorgen, dass Bauelemente geschützt werden. Schmelzsicherungen sind nicht genauer als ±20%.

Beispiel

Wir berechnen den Messwiderstand für die elektronische Sicherung, die im Bau einer elektronischen Sicherung vorgeschlagen wird.

Sie ist für 25mA und 50mA ausgelegt.

Mit Im=25mA

Rm = Um / Im
Rm = 0,55V / 25mA
Rm = 22Ω

Mit Im=50mA

Rm = Um / Im
Rm = 0,55V / 50mA
Rm = 11Ω

Den Wert von 11Ω erreichen wir, wenn wir zwei 22Ω Widerstände parallel schalten.

Korrektur für 20mA

Unsere elektronische Sicherung soll bei 20mA auslösen.

Mit Im=20mA

Rm = Um / Im
Rm = 0,55V / 20mA
Rm = 27,5Ω
Rm = 27Ω aus E24
  • Wir müssen den Widerstand Rm in Bild 1 auf 27Ω korrigieren.
  • Wir führen die Korrektur nicht durch, weil wir dann unseren Fehler nicht mehr beschreiben könnten ;-)
Attention >

Fazit

  • Der Basis-Widerstand R1 der elektronischen Sicherung kann 1kΩ bleiben.
  • Die Messspannung muss auf 0,55V korrigiert werden.

Regeln

  • Die Stromverstärkung eines Transistors ist das Verhältnis von Kollektorstrom zu Basisstrom Ic/Ib.
  • Die Stromverstärkung eines nicht voll leitenden Transistor liegt meistens über 100.
  • Ein schlecht leitender Transistor hat eine Kollektor-Emitter-Spannung über 0V,
    Sie kann zwischen 0V (eingeschaltet) und der Spannung der Spannungsquelle (ausgeschaltet) liegen.
  • Die Angaben über die Werte von Transistoren sind ziemlich ungenau.
  • Die Basis-Emitter-Spannung liegt zwischen 0,55V und 0,65V.
  • Die Stromverstärkung eines BC337-25 liegt zwischen 160 und 400.
  • Die Basis-Emitter-Spannung ist bei geringen Basisströmen geringer.
  • Die Basis-Emitter-Spannung eines BC337 bei 30µA Basisstrom ist etwa 0,55V.
  • Wir rechnen für die elektronische Sicherung mit einer Messspannung von 0,55V.

Die Moral der Geschichte

  • Fehler sind nicht ehrenrührig, wenn sie korrigiert werden.
  • Es ist wichtig, Fehler anderen mitzuteilen.
  • Wir können bei der Untersuchung von Fehlern neue Erkenntnisse gewinnen.
  • Fehler anderer werden nicht an die große Glocke gehängt.
  • Wenn uns jemand auf einen Fehler aufmerksam macht, haben wir gemeinsam gute Arbeit geleistet.
  • Wir haben die Bestimmung von Rm mehrfach geändert.
  • Die Wiederholungen haben wir auf der Basis vorheriger Ergebnisse durchgeführt.
  • Dieses Verfahren erweist sich als besonders erfolgreich bei der Erarbeitung neuer Sachverhalte.