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Wir berechnen den Messwiderstand in der elektronischen Sicherung.


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Berechnung des Messwiderstands

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Elektronische Sicherung mit Abschaltung

Elektronische Sicherung mit Stromspiegel


Berechnung des Messwiderstands

Wir berechnen den Messwiderstand Rm in der elektronischen Sicherung.

Wir werden einige Irrtümer begehen und erkennen. So ist das in der Praxis.

ElektronischeSicherung.png
Bild 1: Die elektronische Sicherung

Der Widerstand Rm wurde so ausgelegt, dass die elektronische Sicherung bei 20mA auslöst. Der Wert von 30Ω wurde einfach vorgegeben.

An dieser Stelle machen wir uns Gedanken, wie der Wert von 30Ω zustande kommt.

Ein Phänomen kennen wir schon, wenn wir den Widerstand vor einer LED kleiner machen, wird sie heller. Machen wir ihn größer wird sie dunkler. (Wer diesen Zusammenhang nicht kennt sollte es ausprobieren mit 470Ω, 1kΩ und 10kΩ.) Die Helligkeit einer LED hängt von dem Strom durch die LED ab.

Regeln

  • Der Strom wird größer, wenn der Widerstand kleiner wird.
  • Der Strom wird kleiner, wenn der Widerstand größer wird.

Dieser Zusammenhang ist keineswegs trivial, sondern fundamental. Theoretisch wird dieses durch das Ohmsche Gesetz beschrieben : I=U/R.

Wir können damit schon einmal festhalten, dass wir den Messwiderstand der elektronischen Sicherung kleiner machen müssen, wenn wir den Abschaltstrom der Sicherung erhöhen wollen.

Wir könnten jetzt einfach eine Reihe von Versuchen durchführen, um herauszubekommen welchen Widerstand wir einsetzen müssen, wenn der Strom Is=50mA. Wir erleichtern uns das Ganze indem wir etwas Theorie anwenden: das Ohmsches Gesetz

Ohmsches Gesetz für R
R = U / I

Wir brauchen also eine Spannung und einen Strom, um den Widerstand zu berechnen. Den Strom Is=50mA haben wir, aber welche Spannung setzen wir ein?

Im Praktikum Transistoren hatten wir eine Regel

  • Wenn Strom in die Basis des NPN-Transistors fließt, fällt zwischen Basis und Emitter eine Spannung von etwa 0,6V ab.

Damit der Transistor Q1 einschaltet, müssen 0,6V zwischen Basis und Emitter liegen, das ist die Spannung, die an Rm abfallen muss. Nicht ganz genau, aber die Spannung am R1 ignorieren wir der Einfachheit halber. Wir haben damit

Rm = 0,6V / 0,05A
Rm = 12Ω

Wir können diese Theorie auch umkehren, wir rechnen nach, ob Rm=30Ω tatsächlich 20mA eingestellt sind.

Ohmsches Gesetz für I
I = U / R

Also:

I = 0,6V / 20Ω
I = 0,02A = 20mA

Das passt offensichtlich.

Strom durch die LED

Rechnen wir einmal nach, wie groß der Strom durch die LED ist, wenn der Transistor eingeschaltet ist. Dieser Strom wird durch den Widerstand R2 bestimmt. Wir müssen also wissen, wie groß die Spannung U1 an R1 ist.

In dem Stromkreis haben wir

Ubat = Uled + U1 + Uce

Ubat kennen wir die Batteriespannung von 4,5V (oder 5V aus dem Netzgerät). Die Spannung an einer roten LED ist Uled=1,8V. Die Spannung Uce zwischen Kollektor und Emitter des eingeschalteten Transistors ist Uce=0V.

Bererechnung von U12
Ubat        = Uled + U2
Ubat - Uled =        U2
U2          = Ubat - Uled
U2          = 4,5V - 1,8V
U2          = 2,7V

1. Uled mit umgekehrtem Vorzeichen auf die andere Seite.
2. Die beiden Seiten vertauschen

Berechnung von I2
I2   = U2 / R2
I2   = 2,7V / 1000
I2   = 0,0027A = 2,7mA

Der Strom durch R2 fließt auch durch die LED und beträgt 2,7mA. Wir hatten wir schon immer vermutet, dass der Strom unter 10mA ist.

Ströme im Transistor Q1

Wir wollen jetzt den Kollektorstrom und den Basisstrom des Transistors Q1 berechnen.

Durch den Kollektor des Transistor fließen beide Ströme I2 und I6.

Den Strom I2 kennen wir. Wie groß ist dann der Strom durch den Widerstand R6? Geschätzt? R6 ist viel größer als R2. Er müsste kleiner sein. Wir brauchen außerdem noch die Spannung an R6. Das ist einfach, weil keine LED im Stromkreis liegt und wir wissen, das Uce=0V ist: U6=Ubat

I6 = Ubat / R6
I6 = 4,5V / 100kΩ
I6 = 4,5V / 100000Ω
I6 = 0,000045A
I6 = 0,045mA
I6 = 45µA

I6 sind 0,045 Milliampere oder 45 Mikroampere. I6 ist, wie wir vermutet haben kleiner als I2, sogar sehr viel kleiner.

Durch den Transistor fließen beide Ströme I2 und I6

der Kollektorstrom ist
Ic = I2 + I6
Ic = 2,7mA + 0,045mA
Ic = 2,745mA

Und der Strom aus dem Gate des MOS-FET Q2? Im Gate eines MOS-FET fließt kein Strom.

Wir haben festgestellt, dass sich der Kollektorstrom des Transistors nur geringfügig durch R6 erhöhte. Der Strom Ib in die Basis des Transistors sollte 1/10 des Kollektorstroms Ic sein.

Ib = Ic / 10
Ib = 2,74mA / 10
Ib = 0,274mA

Wir rechnen genauer

Ganz am Anfang haben wir den Einfluss des Widerstands R6 vor der Basis des Transistors Q1 vernachlässigt. Den Effekt von R6 untersuchen wir jetzt.

Mit dem

Ohmschen Gesetz für U
U = I * R

wird die Spannung an R1 berechnet, weil I1 = Ib ist.

U1 = I1 * R1
U1 = 0,274mA * 1000Ω
U1 = 0,27V

Ha wir haben ihn! Die Annahme, die Spannung am Messwiderstand sei gleich der Basis-Emitter-Spannung des Transistors ist falsch. Sie ist

Um = Ube + U1
Um = 0,6V + 0,27V
Um = 0,87V

Die korrekte Berechnung von Rm ist dann

Rm = Um / Im
Rm = 0,87V / 50mA
Rm = 17,4Ω

In der E24-Reihe passt am besten Rm=18Ω.

Bei unserer ersten Berechnung haben wir offensichtlich einen Fehler gemacht!

Korrektur des Fehlers

Wir haben jetzt verschiedene Möglichkeiten:

1. Wir verschleiern unseren Fehler und korrigieren ihn klammheimlich.

2. Wir machen auf unseren Fehler aufmerksam und helfen anderen den Fehler zu vermeiden.

3. Wir Analysieren, was die Ursache des Fehlers war.

Der 1. Fall wird meistens begangen. Der 2. ist nicht nur löblich, sondern sogar sehr erfolgreich. Der 3. ist der schwierigste und sollte mit dem 2. verbunden werden.

Wir entscheiden uns für den 3. Fall.

Wir stellen uns die Frage, wodurch dieser Fehler zustande kam?

Wir haben offensichtlich den Spannungsabfall am Widerstand R1 unterschätzt.

U1 = I1 * R1
U1 = Ib * R1

Wir haben den Basisstrom von Q1 unterschätzt oder R1 zu groß gemacht oder beides.

R1 korrigieren

R1 ist eingesetzt worden, damit der Basisstrom von Q1 nicht zu groß werden kann.

Im schlechtesten aller Fälle (Rm fällt aus) heißt, dass die volle Batteriespannung an R1 liegt. Abzüglich der Basis-Emitter-Spannung.

U1 = Ubat - Ube
U1 = 4,5V - 0,6V
U1 = 3,9V

Dann fließt durch R1

I1 = U1 / R1
I1 = 3,95V / 1000Ω
I1 = 3,9mA

Aber der BC337 kann 100mA durch die Basis ab.

R1 = U1 / 100mA
R1 = 3,9V / 100mA
R1 = 3,9V / 0,1A
R1 = 39Ω

Wir wären also mit einem Widerstand aus E24 mit 39Ω ausgekommen. Wir gehen sicher und sorgen für einen kleineren Strom durch R1=100Ω.

Damit wird

U1 = I1 * R1
U1 = 0,274mA * 100Ω
U1 = 0,027V

Um = Ube + U1
Um = 0,6V + 0,027V
Um = 0,627V

Rm = Um / Im
Rm = 0,627V / 50mA
Rm = 12,54Ω

Der nächste Widerstand aus E24 ist 12Ω.

Wir haben unseren Fehler offensichtlich gelöst:

  • R1 muss nicht 1KΩ, sondern 100Ω sein.

Basisstrom genauer untersuchen

Der Transistor Q1 muss nach unserer Regel 1/10 des Kollektorstroms sein. Das ist auch richtig so.

Wir wollen an dieser Stelle untersuchen, ob der Transistor Q1 mit einem kleineren Basisstrom auskommen kann.

Der erfahrene Elektroniker weiß: ja das kann er, aber dann schaltet er nicht richtig ein.

Das heißt in unserem Falle, dass der Strom durch den Kollektor geringer wird und zwischen Kollektor und Emitter eine Spannung abfällt. Die LED würde nicht voll leuchten. Der BC337 beginnt zu leiten, wenn der Basisstrom etwa 100stel des Kollektorstroms ist. Wenn wir Glück haben, schon bei 1/400.

Den Wert Ic/Ib nennt man Stromverstärkung. Die Stromverstärkung von Transistoren wird nur sehr ungenau angegeben. Beim BC337 liegt sie zwischen 63 und 600.

Transistoren werden in Stromverstärkungs-Gruppen eingeteilt:

BC337-10 63-160
BC337-16 160-250
BC337-25 160-400
BC337-40 250-600

Meistens werden BC337 als BC337-25 mit einer Stromverstärkung zwischen 160 und 400 ausgeliefert. Mit einer Stromverstärkung von 100 liegen wir sogar recht gut im Mittelfeld des BC337-10.

Ib = Ic / 100
Ib = 2,7mA / 100
Ib = 0,0027mA
Ib = 27µA

Wäre R1 noch 1kΩ

U1 = Ib * 1kΩ
U1 = 0,0027mA * 1kΩ
U1 = 0,0000027A * 1000Ω
U1 = 0,0027V

Um = Ube + U1
Um = 0,6V + 0,027V
Um = 0,627V

Rm = Um / Im
Rm = 0,627V / 50mA
Rm = 12,54Ω

Wieder sind 12Ω ausreichend!

Wenn wir es zulassen, dass der Transistor Q1 nicht perfekt einschaltet, sondern nur zu leiten beginnt, wäre R1=1kΩ akzeptabel.

Wir müssen außerdem noch untersuchen, ob damit die elektronische Sicherung noch funktionieren würde.

Sie löst aus, wenn der MOS-FET ausgeschaltet wird. Dann muss seine Gate-Source-Spannung Ugs unter 2V liegen. Die Gate-Source-Spannung von G2 ist die Kollektor-Emitter-Spannung des NPN-Transistors Q1. Mit anderen Worten, Q1 kann so schlecht leiten, dass seine Kollektor-Emitter-Spannung noch 2V beträgt. Das schafft ein BC337 im Bereich um 2mA leicht und hat dann auch eine Stromverstärkung von mehr als 100.

Wir können folglich mit einem schlecht leitenden Q1 rechnen. Die Folge ist allerdings, dass die LED nicht voll leuchtet. Aber das ist kaum zu sehen und damit könnten wir leben.

Fazit

  • Wir korrigieren R1 zu 100Ω.
  • Wenn die elektronische Sicherung auszulösen beginnt, wird der Transistor Q1 nicht voll einschalten.

Unsere Berechnung sieh damit dann folgendermaßen aus:

für Im = 50mA
I1 = Ib = 27µA
R1 = 100Ω

U1 = Ib * 1kΩ
U1 = 0,0000027A * 100Ω
U1 = 0,00027V

Um = Ube + U1
Um = 0,6V + 0,0027V
Um = 0,6027V

Rm = Um / Im
Rm = 0,6027V / 0,05A
Rm = 12,054Ω
für Im = 20mA
Rm = Um / Im
Rm = 0,6027V / 0,02A
Rm = 30,01Ω

Damit können wir den Messwiderstand für den maximalen Strom der Sicherung berechnen:

Rm = Um / Im
Rm = 0,6027V / Im

Essig in den Wein

Wir sind davon ausgegangen, das die Basis-Emitter-Spannung eines eingeschalteten Transistors 0,6V ist. Der Wert ist auch recht gut. Sie kann allerdings davon abweichen und soll im Bereich von 0,55V bis 0,65V liegen (Datenblatt von General Semiconductor).

Wir haben uns oben viel Mühe gegeben präzise zu sein und jetzt das. Was sollen die 0,6027V? Wir bleiben bei 0,6V.

Messwiderstand berechnen:

Wir berechnen den Messwiderstand für den maximalen Strom der Sicherung mit

Rm = Um / Im
Rm = 0,6V / Im
Attention >

Korrektur

Der Basis-Widerstand R1 der elektronischen Sicherung sollte in 100Ω geändert werden.

Wir werden diese Korrektur nicht in dieser Schaltung vornehmen, weil damit unser Lerneffekt verloren geht. In das Projekt Elektronische Sicherungen wird unsere Erkenntnis allerdings einfließen.

Regeln

  • Die Stromverstärkung eines Transistors ist das Verhältnis von Kollektorstrom zu Basisstrom Ic/Ib
  • Die Stromverstärkung eines nicht voll leitenden Transistor liegt meistens über 100
  • Ein schlecht leitender Transistor hat eine Kollektor-Emitter-Spannung über 0V,
    Sie kann zwischen 0V (eingeschaltet) und der maximalen Spannung (ausgeschaltet) liegen
  • Die Angaben über die Werte von Transistoren sind ziemlich ungenau
  • Die Basis-Emitter-Spannung liegt zwischen 0,55V und 0,65V
  • Wir rechnen dennoch mit einer Basis-Emitter-Spannung von 0,6V
  • Die Stromverstärkung eines BC337-25 liegt zwischen 160 und 400
  • Das Ohmsche Gesetz dient zur Berechnungen mit Widerständen:
  • Das Ohmsche Gesetz für Widerstände ist R=U/I
  • Das Ohmsche Gesetz für Ströme ist I=U/R
  • Das Ohmsche Gesetz für Spannungen ist U=I*R

Die Moral der Geschichte

  • Fehler sind nicht ehrenrührig, wenn sie korrigiert werden
  • Es ist wichtig, Fehler anderen mitzuteilen
  • Wir können bei der Untersuchung von Fehlern neue Erkenntnisse gewinnen
  • Fehler anderer werden nicht an die große Glocke gehängt
  • Wenn uns jemand auf einen Fehler aufmerksam macht, haben wir gemeinsam gute Arbeit geleistet